GEOMETRÍA GRADO 8

Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras


1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
     
Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?


Recuerda que:   32 = 3 x 3 = 9   y  42 = 4 x 4 = 16

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
     
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?


3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.

El triangulo es rectángulo ya que la hipotenusa al cuadrado dio el mismo resultado que la suma de los catetos al cuadrado.

Ejemplos

 1.Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?


2.Hallar el área del triángulo equilátero:


3. Hallar la diagonal del cuadrado:


4.Hallar la diagonal del rectángulo:


5.Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
P = 8 + 6 + 12 + 6.32 = 32.32 cm


ACTIVIDAD # 1

 1. Una escalera de 5 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la       escalera dista 3 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

2. Hallar el área del triángulo equilátero. si uno de sus lado mide 8 cm.

3. Hallar la diagonal del cuadrado. si uno de sus lado mide 9 cm.

 4. Hallar la diagonal del rectángulo. si uno de sus lado mide 8 cm y el otro 6 cm.

 5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 29 cm y uno de sus catetos mide 20 cm. ¿Cuál  es la medida del otro cateto?

6. Una escalera de 7.3 m de altura se apoya con el pie a 4.8 m de la pared para arreglar un problema que hay en la azotea de una casa. ¿A qué altura se encuentra la azotea?


7. Para instalar una antena parabólica se utiliza un poste sujeto por dos cables como indica la figura.

Grafica de problema por Pitagoras con antena parabolica y cables




¿Cuál es la altura del poste?  m.
Indica la medida del cable que falta.  m.
¿A qué distancia del poste habrá que colocar dicho cable? m.
EN EL SIGUIENTE LINK ENCONTRARAN UN CUESTIONARIO DE LA ACTIVIDAD # 1, QUE VAN A REALIZAR SEGÚN EL GRADO CORRESPONDIENTE:

ACTIVIDADES CORRESPONDIENTES AL MES DE  JUNIO.


Triángulos


Un triángulo es un polígono de tres lados.
Un triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.


Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.

Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.


Definición de triángulo: Un triángulo es un polígono de tres lados.




Propiedades de los triángulos


1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c


EJEMPLO:

Comprobar la propiedad anterior, si el triangulo presentado a continuación tiene las siguientes medidas:

Entonces tenemos que los lados del triangulo tienen las siguientes medidas;

a= 4 ; b=3 ; c=2

Ahora reemplazamos estos valores así:

a < b + c
4 < 3 + 2
4 < 5       
                                                                         
se cumplió que la medida de uno de sus lados es menor que la suma de los otros dos lados.

 Ahora sigamos con el otro enunciado reemplazando los valores así:

 a > b - c
4 > 3 - 2
4 > 1

 se cumplió que la medida de uno de los lados es mayor que la diferencia de los otros dos.

2.  En todo triangulo, al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor medida y al lado de menor longitud se opone el ángulo de menor medida.
En el siguiente triangulo, podemos verificar dicha propiedad:

El ángulo G= 82° es el de mayor medida y su lado opuesto g=4u es el de mayor longitud.

Así como el ángulo H=40° es el de menor medida y su lado opuesto h=2,5u es el de menor longitud.

3. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Ejemplo 1:
El triangulo △GIH las medidas de sus ángulos interiores son:
∢G + ∢ I + ∢H =180°
82° + 58° + 40°=180°

Ejemplo 2:
Luego el ∢L=97°

4.  El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de         los dos interiores no adyacentes. Si un triángulo               tiene dos lados iguales, sus ángulos                               opuestos también son iguales. 
Ejemplo:


ACTIVIDAD # 2.

Realiza la siguiente actividad en tu cuaderno.
1) 
2)
3)
4)


EN EL SIGUIENTE LINK PODRAN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD # 2 POR MEDIO DE UN CUESTIONARIO:





ACTIVIDADES CORRESPONDIENTES AL SEGUNDO PERIODO

Periodo académico 2: Congruencia de triángulos 


 Entandares

• Conjeturo y verifico propiedades de congruencias entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

• Aplico y justifico criterios de congruencias  entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

 

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

Identifica relaciones de congruencia entre las formas geométricas que configuran el diseño de un objeto.

 

NIVELES DE DESEMPEÑO – COMPETENCIAS

COMUNICACIÓN:

·  Utiliza criterios para argumentar la congruencia de dos triángulos.

·  Compara figuras y argumenta la posibilidad de ser congruente

 

RAZONAMIENTO:

· Justifica cuando dos figuras son congruentes

 

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

·  Resuelve problemas que implican aplicación de los criterios de congruencia. 


SABERES PREVIOS

En el grado séptimo se estudió el movimiento de figuras en el plano: traslación, reflexión y rotación. Estos movimientos nos permiten obtener triángulos congruentes.

Veamos los siguientes ejemplos:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Observando los triángulos ABC y A’B’C’

Sabemos que: El < BAC tiene la misma medida que el <B’A’C’

                           El < ACB tiene la misma medida que el < A’C’B’

                           El < CBA tiene la misma medida que el < C’B’A’

También con referencia a los lados de los triángulos sabemos que: AB tiene la misma medida que A’B’.

                                                                                                                        AC tiene la misma medida que A’C’

                                                                                                                          BC tiene la misma medida que B’C’

2. Reflejar el triángulo ABC de la derecha sobre el eje vertical indicado

Observando los triángulos ABC y A’B’C’

Sabemos que: El < BAC tiene la misma medida que el <B’A’C’

                           El < ACB tiene la misma medida que el < A’C’B’

                           El < CBA tiene la misma medida que el < C’B’A’

También con referencia a los lados de los triángulos sabemos que:

 AB tiene la misma medida que A’B’.                                                                                                                     

 AC tiene la misma medida que A’C’.

 BC tiene la misma medida que B’C’.

 

 

3. Al rotar el triángulo de color negro con respecto al origen, un ángulo de  90° en el mismo sentido de las manecillas del reloj, se obtiene el triángulo de líneas punteadas de color rojo.

 


Observando los triángulos ABO y A’B’O’

Sabemos que:

 El < BAO tiene la misma medida que el <B’A’O’

 El < AOB tiene la misma medida que el < A’O’B’

 El < OBA tiene la misma medida que el < O’B’A’

También con referencia a los lados de los triángulos sabemos que:

AB tiene la misma medida que A’B’.

 AO tiene la misma medida que A’O’                                                                                                            

 BO tiene la misma medida que B’O’

En geometría  cuando dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño, se dice que son congruentes y se utiliza el símbolo 

 


Por ejemplo, para indicar que los triángulos ABC y A’B’C’ tienen la misma forma y el mismo tamaño escribimos:

Igualmente, para indicar que los ángulos y los lados correspondientes tienen la misma medida escribimos:

  

 

¿QUÉ APRENDERÉ?

La congruencia de triángulos nos permite determinar cuándo dos o más triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño.

¿PARA QUÉ ME SIRVE?

Resolver problemas de la matemática, de la geometría o de la vida cotidiana utilizando los criterios de congruencia de triángulos



DEFINICIÓN DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Se dice que un triángulo es congruente con otro, si sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes son congruentes, es decir tienen la misma medida.

Generalmente los lados congruentes y los ángulos congruentes se marcan de igual forma con rayas pequeñas para los lados y con arcos para los ángulos.


 

 

 

 

 

 

 

 

           

   Ejemplo 1: El triángulo ABC se trasladó y se obtuvo el triángulo RPQ, luego


 Escribir los elementos que se corresponden.



   


                      Ejemplo 2: El triángulo MNS se reflejó y se obtuvo el triángulo FGK, luego .

                      Escribir los elementos que se corresponden

 

 

Ejemplo 3:

Al triángulo WER se le aplicaron varios movimientos y se obtuvo el triángulo DFG, tal que ΔWER ≌ ΔDFG  . Determinar los elementos que se corresponden.


Actividad # 1 de congruencia de triángulos, Realizar en tu cuaderno.

1. 




EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD # 1 DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS POR MEDIO DE UN CUESTIONARIO:

Grado 8-2


CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS


Se denomina ángulos congruentes a aquellos ángulos que tienen la misma medida.
Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruente.
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.
Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:



En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos

Criterios de congruencia

1. Criterio lado-lado-lado (LL L)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes:


2. Criterio  lado-ángulo-lado (LAL)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

3. Criterio ángulo-lado-ángulo (ALA)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.


4. Criterio (L, L, A>)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo opuesto mayor de estos lados congruentes.









Actividad # 2 de congruencia de triángulos, Realizar en tu cuaderno.


1.      Escribe (V) si la afirmación es verdadera o (F) si es falsa.

a.      Todos los triángulos equiláteros son congruentes (   )

b.      Un triángulo equilátero puede ser congruente con un triángulo isósceles (   )

c.       Un triángulo acutángulo nunca es congruente con un triángulo obtusángulo. (    )


2. Identifica si las parejas de triángulos son congruentes. Escribe cuál de los criterios te permite comprobarlo.


3. Teniendo en cuenta la información de las figuras, decide si los triángulos son congruentes. En caso afirmativo, escribe el criterio que justifica la congruencia.






EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD # 2 DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS POR MEDIO DE UN CUESTIONARIO:

Grado 8-2




GUÍA DE APRENDIZAJE 

Puedes descargar o ver la guía de aprendizaje en el siguiente link, si les solicita permiso háganlo con el correo institucional dado por el colegio. De igual manera el material ya fue enviado a sus correos institucionales.




EN LOS SIGUIENTES LINK PODRÁN  ENVIAR  LAS ACTIVIDADES PEDIDAS CORRESPONDIENTES A LA GUIA DE APRENDIZAJE.

Subir el archivo en PDF de la Actividad # 1 de la guía de aprendizaje, no olvidar colocar apellidos-nombres y grado al pdf.


Subir el archivo en PDF de la Actividad # 2 de la guía de aprendizaje, no olvidar colocar apellidos-nombres y grado al pdf.


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