TRIGONOMÉTRICA 10

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo


Introducción

Consideremos un triángulo rectángulo (con un ángulo recto) y un ángulo α:
Problemas resueltos de trigonometría básica: seno, coseno y tangente. Definimos las razones trigonométricas como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. También usaremos las funciones inversas. Secundaria. Bachillerato. Geometría plana. Trigonometría. Matemáticas.
El lado opuesto al ángulo recto (el de 90º) se denomina hipotenusa y los otros dos lados son los catetos:
  • el cateto opuesto es el que está enfrente del ángulo α
  • y el cateto contiguo o adyacente es el otro cateto, es decir, el que está en contacto con el ángulo α.
  • Las razones trigonométricas se definen como la razón entre los lados del triángulo:










representación gráfica de seno en el triángulo ABC

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

fórmula de seno












representación gráfica de coseno en el triángulo ABC

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

fórmula del coseno

representación gráfica de tangente en el triángulo ABC

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B.

fórmula de tangente

representación gráfica de cosecante en el triángulo ABC

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.
Se denota por csc B o cosec B.

fórmula de cosecante

representación gráfica de secante en el triángulo ABC

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
fórmula de secante













representación gráfica de cotangente en el triángulo ABC

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cot B o ctg B.
fórmula de cotangente




  tabla de las razones trigonométricas de un triangulo rectángulo.

\displaystyle \begin{matrix} \text{razon trigonometrica}& & \text{opuesto multiplicativo}\\ \\ \text{Seno}& & \text{Cosecante}\\ \text{sen } \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} & & \csc \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}} \\ \\ \text{Coseno}& & \text{Secante}\\ \cos \alpha=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} & & \sec \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}} \\ \\ \text{Tangente}& & \text{Cotangente}\\ \tan \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} & & \cot \alpha = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} \end{matrix}


Actividades de aprendizaje # 1

Realiza las siguientes actividades de aprendizaje en tu cuaderno

EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD #1 EN FORMA DE UN CUESTIONARIO, QUE VAN A REALIZAR SEGÚN EL GRADO CORRESPONDIENTE:

Razones trigonométricas de ángulos notables. 



Seno, coseno y tangente de 30º y 60º


Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60^{o} y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30^{o} cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

\displaystyle h=\sqrt{I^{2}-\left ( \frac{I}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{3I^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}I





\displaystyle sen \ 30^{o}=\frac{\frac{I}{2}}{I}=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sen \ 60^{o}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{I}=\frac{\sqrt{3}}{2}
 
\displaystyle cos \ 30^{o}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}I}{I}=\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos \ 60^{o}=\frac{\frac{I}{2}}{I}=\frac{1}{2}
\displaystyle tg \ 30^{o}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tg \ 60^{o}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}



Seno, coseno y tangente de 45º


La diagonal del cuadrado es igual a la hipotenusa de los triángulos formados, aplicamos el teorema de Pitágoras.



      \displaystyle d=\sqrt{I^{2}+I^{2}}=\sqrt{2I^{2}}=I\sqrt{2}



\displaystyle sen \ 45^{o}=\frac{I}{I\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\displaystyle cos \ 45^{o}=\frac{I}{I\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\displaystyle tg \ 45^{o}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1

Razones trigonométricas de ángulos notables



\displaystyle \begin{matrix} &0^{o} & 30^{o}& 45^{o} & 60^{o} & 90^{o} & 180^{o} & 270^{o} \\ sen & 0 & \frac{1 }{2}&\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}& 1 &0 &-1 \\ cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1 }{2}&0 &-1 &0 \\ tg & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} &\rightarrow \infty & 0 &\rightarrow -\infty \end{matrix}


Ejemplos de resolución de problemas




Actividades de aprendizaje # 2

Realiza las siguientes actividades de aprendizaje en tu cuaderno

1)

2)
3)

EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD #2 EN FORMA DE UN CUESTIONARIO, QUE VAN A REALIZAR SEGÚN EL GRADO CORRESPONDIENTE:





ACTIVIDADES CORRESPONDIENTES AL SEGUNDO PERIODO


ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN


OBJETIVO

-Reconocer los ángulos verticales, ya sean representación de elevación o de depresión; así como su correcta representación grafica.

-Adaptar la teoría de razones trigonométricas de ángulos agudos y sus diversas partes a la resolución de problemas que tienen que ver con los ángulos de elevación y depresión.


ANGULO DE ELEVACION

El término ángulo de elevación denota al ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría sobre la horizontal.

EJEMPLOS DE ANGULOS DE ELEVACION





ANGULO DE DEPRESION

El término ángulo de depresión denota al ángulo desde la horizontal hacia abajo a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría debajo de la horizontal.

EJEMPLO DE ANGULO DE DEPRESION



Realiza las siguientes actividades de aprendizaje #1 en tu cuaderno


7)
8)






EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD  EN FORMA DE UN CUESTIONARIO, QUE VAN A REALIZAR SEGÚN EL GRADO CORRESPONDIENTE:






Teoremas del seno y coseno


Teorema del seno

ley de senos



La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto. 

\displaystyle \frac{a}{\text{sen }A}=\frac{b}{\text{sen }B}=\frac{c}{\text{sen }C}

 
Aplicaciones

Este teorema es útil para resolver problemas si los datos dados entran en alguno de los siguientes casos :
 
1 Si tenemos las medidas de 2 lados de un triángulo, y el ángulo opuesto a uno de ellos.
teorema del seno
Aplicando el teorema inmediatamente puedo obtener el ángulo opuesto al otro lado que conocemos

Ejemplo:

1. Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que: b = 57 cm, c = 35 cm y <B = 42° 

Ley de Senos - Ejercicios

Solución:

Lo primero que tenemos que hacer, es ir recopilando toda la información que nos proporciona el problema del triángulo, que en este caso sería la distancia “c” , la distancia “b” y el ángulo B

c = 35 cm

b = 57 cm

<B = 42°

En la Ley de Senos es importante tener en cuenta nuestra fórmula para aplicarla según sea el caso, en este ejercicio contamos con el lado “b”, así como su ángulo B. Por lo que si tenemos la distancia “c”, entonces será mucho más fácil encontrar el ángulo C

Obteniendo el ángulo C

Aplicando la fórmula de ley de senos, tenemos:

\displaystyle \frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}

Despejando Sen C, obtenemos:

\displaystyle senC=\frac{c\cdot senB}{b}

Sustituyendo datos en la fórmula:

\displaystyle senC=\frac{c\cdot senB}{b}=\frac{(35cm)(sen42{}^\circ )}{57cm}=0.4108

Despeando C

\displaystyle \sphericalangle C=arcsen(0.4108)=24.26{}^\circ

en este caso de despejar "C" en las calculadoras se encuentra con arcsen que es lo mismo que Sen-1  y usualmente se haya presionando la tecla SHIFT y despues la tecla SIN o SEN en la calculadora y aparece Sen-1  


Obteniendo el ángulo A

Aplicando la suma interna de los ángulos de un triángulo, tenemos:

\displaystyle \sphericalangle A+42{}^\circ +24.26{}^\circ =180{}^\circ

Despejando a <A

\displaystyle \sphericalangle A=180{}^\circ -42{}^\circ -24.26{}^\circ

Simplificando, obtenemos:

\displaystyle \sphericalangle A=113.74{}^\circ

Obteniendo el lado a

Para poder encontrar el ultimo elemento de nuestro triángulo, volvemos hacer uso de la ley de senos:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}

Despejando a la variable “a”

\displaystyle a=\frac{b\cdot senA}{senB}

Sustituyendo datos en la fórmula:

\displaystyle a=\frac{b\cdot senA}{senB}=\frac{(57cm)(sen113.74{}^\circ )}{sen42{}^\circ }=77.97cm

Resultados:

\displaystyle \begin{array}{l}a=77.97cm\\\sphericalangle C=24.26{}^\circ \\\sphericalangle A=113.74{}^\circ \end{array}

 
2 Si tenemos las medidas de 2 ángulos de un triángulo, y el lado opuesto a uno de ellos.
teorema del seno
Aplicando el teorema inmediatamente puedo obtener el lado opuesto al otro ángulo que conocemos.

Ejemplo:

2. En el triángulo  ABC, a = 24 cm, <B = 33°, y <A = 108°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes

 Solución:

Con los datos obtenidos en el problema, es mucho más fácil hacer la relación de la fórmula a utilizar.

Como deseamos encontrar el lado b y c, podemos aplicar lo siguiente:

\displaystyle \frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}

Posteriormente, despejar a “b”, quedando así:

\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}

Sustituyendo

\displaystyle b=\frac{\left( a \right)\left( senB \right)}{senA}=\frac{\left( 24cm \right)\left( sen33{}^\circ \right)}{sen108{}^\circ }\approx 13.74

Podemos ahora calcular el ángulo C, haciendo lo siguiente:

\displaystyle 180{}^\circ =108{}^\circ +33{}^\circ +\sphericalangle C

Qué obtendríamos:

\displaystyle \sphericalangle C=180{}^\circ -108{}^\circ -33{}^\circ =39{}^\circ

\displaystyle \sphericalangle C=39{}^\circ

Ahora procedemos a calcular el lado “C”

Aplicando la siguiente fórmula:

\displaystyle \frac{c}{senC}=\frac{b}{senB}

Obtenemos que:

\displaystyle c=\frac{\left( b \right)\left( senC \right)}{senB}=\frac{\left( 13.74cm \right)\left( sen39{}^\circ \right)}{sen33{}^\circ }\approx 15.87


3 También se puede aplicar cuando se conocen 2 ángulos del triángulo y un lado que no es opuesto a ninguno de ellos, sólo que requiere un paso extra, que es obtener el otro ángulo del triángulo.
teorema del seno
Esto es posible porque sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Por ejemplo, en la imagen de arriba, el ángulo B se obtiene de restar los otros 2 ángulos a 180:

\measuredangle B =180° -\alpha-\beta

Ignorando uno de los ángulos dados originalmente, ya tenemos los datos de 2 ángulos y el lado opuesto de uno de ellos, como el segundo caso mencionado en las aplicaciones.

Ejemplo:

3. Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

  El tercer ángulo del triángulo es:

    C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°


  Por la ley de los senos,



  Por las propiedades de las proporciones


     


     


Realiza las siguientes actividades de aprendizaje # 2 teorema del seno en tu cuaderno


1. Dibuja el triangulo y halla los ángulos y los lados que se desconocen. Recordar que los ángulos se escriben con letra mayúscula (A, B, C) y los lados con letra minúscula (a, b, c).

a) Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m
b) Dado ∆ABC con a = 22m, b =12 y A = 40°.
c) Dado ∆ABC con A = 80°, B = 70° y a = 100 m 
d) Dado ∆ABC con A = 35°, B = 65° y a = 98 m


2. Resuelve cada triangulo y halla los ángulos y los lados que se desconocen.

a)

Ley de Senos - Ejercicios Resueltos


b)

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Resolución de problemas

3. 
4.

5. 

6.




 

EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD  LEY DE SENOS EN FORMA DE UN CUESTIONARIO, QUE VAN A REALIZAR SEGÚN EL GRADO CORRESPONDIENTE:

Grado 10-6

Teorema del coseno 

ley de cosenosEn un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

 
Aplicaciones

Este teorema es útil para resolver problemas,
 
1 Si tenemos la medida de un ángulo y de los lados adyacentes a este.
teorema del coseno
Aplicando el teorema podemos obtener el tercer lado, es decir el lado opuesto al ángulo que tenemos, pues

a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}


EJEMPLO:

1.- En el siguiente triángulo ABC, a = 13 cm, c = 19cm, <B = 55° , Resuelva el triángulo

 

Solución: 

Para poder resolver el siguiente ejercicio, asumimos que el lado que deseamos encontrar es el lado b, puesto que el ángulo opuesto es B, entonces nuestra fórmula queda:

\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot \cos B

De esto resulta

\displaystyle {{b}^{2}}={{13}^{2}}+{{19}^{2}}-2(13)(19)\cdot \cos (55{}^\circ )

\displaystyle {{b}^{2}}=169+361-494(0.5735)

Por lo que:

\displaystyle {{b}^{2}}=246.6532

\displaystyle b=15.7052cm

Ahora tenemos los tres lados de nuestro triángulo, pero nos hace falta conocer los ángulos, para ello, considero un ángulo que deseo calcular que bien puede ser el ángulo A o el ángulo C.

En este caso, elegiré el ángulo A, por lo que mi ecuación quedará:

\displaystyle {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot \cos A

Sin embargo, el valor del lado a, b y c ya los tengo, entonces procedo a despejar el coseno de A, para resolver.

\displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-2bc\cdot \cos A

Despejando aún más…

\displaystyle \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}=\cos A

Invirtiendo la ecuación

\displaystyle \cos A=\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-2bc}

Listo, ahora es momento de sustituir nuestros valores:

\displaystyle \cos A=\frac{{{13}^{2}}-{{15.7052}^{2}}-{{19}^{2}}}{-2(15.7052)(19)}=0.7350

Ahora aplicando coseno inverso.

\displaystyle A={{\cos }^{-1}}(0.7350)=42.69{}^\circ

Por lo que el ángulo A, es de 42.69 grados.

Ahora mediante la suma de ángulos internos en un triángulo, aplicamos la propiedad para encontrar el ángulo restante:

\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180{}^\circ

\displaystyle 42.69{}^\circ +55{}^\circ +\angle C=180{}^\circ

Despejando a <C

\displaystyle \angle C=180{}^\circ -42.69{}^\circ +55{}^\circ =82.31{}^\circ


 
2 Si tenemos la medida de los 3 lados de un triángulo
teorema del coseno
Aplicando el teorema podemos obtener cualquier ángulo, pues

\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} A=\cos^{-1} \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)

EJEMPLO:

2.- Calcula los elementos de un triángulo oblicuángulo si se sabe que a = 19 cm, b = 24 cm y c = 13 cm. 

Solución: 

Lo primero que tenemos que hacer es recopilar nuestros datos, todo lo que el triángulo oblicuángulo nos ofrece de comienzo, para ello colocamos, los lados:

a = 19 cm.

b = 24 cm.

c = 13 cm.

Vamos a utilizar la fórmula general de la ley de cosenos, siempre y cuando hagamos los despejes correctos para llegar a las nuevas fórmulas que veremos a continuación:

\displaystyle \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}

\displaystyle \cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}

\displaystyle \cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}

Para cada caso hemos despejado las fórmulas y con ello empezar a sustituir nuestros datos para obtener los valores faltantes de nuestro triángulo.

Para obtener el ángulo A

\displaystyle \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{{{(24cm)}^{2}}+{{(13cm)}^{2}}-{{(19cm)}^{2}}}{2(24cm)(13cm)}

\displaystyle \cos A=\frac{{{(24cm)}^{2}}+{{(13cm)}^{2}}-{{(19cm)}^{2}}}{2(24cm)(13cm)}=\frac{384c{{m}^{2}}}{624c{{m}^{2}}}

\displaystyle \cos A=\frac{384c{{m}^{2}}}{624c{{m}^{2}}}=0.6153

Despejando A

\displaystyle A=\arccos (0.6153)=52.02{}^\circ

Listo, ahora veamos como obtener el siguiente ángulo.

Para obtener el ángulo B

\displaystyle \cos B=\frac{{{(19cm)}^{2}}+{{(13cm)}^{2}}-{{(24cm)}^{2}}}{2(19cm)(13cm)}=\frac{-46c{{m}^{2}}}{494c{{m}^{2}}}=-0.0931

Despejando B

\displaystyle B=\arccos (-0.0931)=95.34{}^\circ

Para obtener el ángulo C

\displaystyle \cos C=\frac{{{(19cm)}^{2}}+{{(24cm)}^{2}}-{{(13cm)}^{2}}}{2(19cm)(24cm)}=\frac{768c{{m}^{2}}}{912c{{m}^{2}}}=0.8421

Despejando C

\displaystyle C=\arccos (0.8421)=32.64{}^\circ

Resultados

\displaystyle \begin{array}{l}\sphericalangle A=52.02{}^\circ \\\sphericalangle B=95.34{}^\circ \\\sphericalangle C=32.64{}^\circ \end{array}

Comprobación:

\displaystyle \sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C=52.02{}^\circ +95.34{}^\circ +32.64{}^\circ =180{}^\circ


FORMULAS DEL TEOREMA DEL COSENO






Realiza las siguientes actividades de aprendizaje #3 teorema del coseno en tu cuaderno


1. Dibuja el triangulo y halla los ángulos y los lados que se desconocen. Recordar que los ángulos se escriben con letra mayúscula (A, B, C) y los lados con letra minúscula (a, b, c).

a) Dado ∆ABC con   b= 70 cm ;  c= 85 cm ; a= 100cm

b) Dado ∆ABC con   a = 18 m ; B= 65° ; c= 26 cm
c) Dado ∆ABC con   c= 6 cm ; a= 7.8 cm ; b= 9.5 cm
d) Dado ∆ABC con   C= 41°  ;  b= 105 cm ; a= 140 cm

2. Resuelve cada triangulo y halla los ángulos y los lados que se desconocen.





Resolución de problemas

3. Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición actual “A” es de 39.4° ¿Qué distancia hay entre los dos edificios?  






EN EL SIGUIENTE LINK PODRÁN ENVIAR PARTE DE LA ACTIVIDAD # 3 TEOREMA DEL COSENO EN FORMA DE UNA CUESTIONARIO.

Grado 10-6



GUÍA DE APRENDIZAJE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Puedes descargar o ver la guía de aprendizaje en el siguiente link, realizar las actividades de la guía en tu cuaderno.

https://drive.google.com/file/d/1uM38lKfBUEeFIaeacltDv8jERgHxCvAj/view?usp=sharing


VIDEOS DE APOYO


GRAFICA FUNCION SENO
https://youtu.be/-LWlvsSdpjg


VIDEO FUNCION SENO, DOMINIO, RECORRIDO, ETC.
https://youtu.be/9Nh_KLzi24s


GRAFICA FUNCION COSENO
https://youtu.be/kdBYhd2kESs

VIDEO FUNCION COSENO, DOMINIO, RECORRIDO, ETC.
https://youtu.be/7Zef_6kdOzs


VIDEOS DE COMO SE GRAFICA UNA FUNCION TRIGONOMETRICA

https://youtu.be/Q_14QgX2zG0

https://youtu.be/RSaI2rWUXJA

https://youtu.be/TYEEDgEGdJE





EN LOS SIGUIENTES LINK PODRÁN  ENVIAR  LAS ACTIVIDADES PEDIDAS CORRESPONDIENTES A LA GUIA DE APRENDIZAJE.

Subir el archivo en PDF de la Actividad # 1 de las preguntas pedidas de función del seno de la guía de aprendizaje en el siguiente link, no olvidar colocar apellidos-nombres y grado al PDF.


Subir el archivo en PDF de la Actividad # 2 de las preguntas pedidas de función del coseno de la guía de aprendizaje en el siguiente link, no olvidar colocar apellidos-nombres y grado al PDF.


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